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1852年,毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。这个现象能不能从数学上加以严格证明呢?他和他正在读大学的弟弟决心试一试,但是稿纸已经堆了一大叠,研究工作却是没有任何进展。
即1890年,人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图着色,用五种颜色就够了。
不过,让数学家感到欣慰的是,郝伍德没有彻底否定肯普论文的价值,运用肯普发明的方法,郝伍德证明了较弱的五色定理。
肯普是用归谬法来证明的,肯普的证明阐明了两个重要的概念,对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。
他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国,不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图,也就是说,由两个邻国,三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的,每张地图至少含有这四种构形中的一个。
肯普提出的另一个概念是“可约”性。
“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。
他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国,就会有国数减少的五色地图。
自从引入“构形”,“可约”概念后,逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法,能够寻求可约构形的不可避免组,是证明“四色问题”的重要依据。
但要证明大的构形可约,需要检查大量的细节,这是相当复杂的。
1913年,美国着名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法,结合自己新的设想;证明了某些大的构形可约。
后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。
1950年,温恩从22国推进到35国。
1960年,有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色;随后又推进到了50国。
看来这种推进仍然十分缓慢。
高速数字计算机的发明,促使更多数学家对“四色问题”的研究。电子计算机问世以后,由于演算速度迅速提高,加之人机对话的出现,大大加快了对四色猜想证明的进程。
就在1976年6月,在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿个判断,结果没有一张地图是需要五色的,最终证明了四色定理,轰动了世界。
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事,当两位数学家将他们的研究成果发表的时候,当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳,以庆祝这一难题获得解决。
但证明并未止步,计算机证明无法给出令人信服的思考过程。
一个多世纪以来,数学家们为证明这条定理绞尽脑汁,所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
在“四色问题”的研究过程中,不少新的数学理论随之产生,也发展了很多数学计算技巧。
如将地图的着色问题化为图论问题,丰富了图论的内容。
不仅如此,“四色问题”在有效地设计航空班机日程表,设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。
后来,数学家发现7中颜色可以给空间各种形状相邻的模块染色。
高维空间染色问题,大有可为!
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