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第五百三十七章 格罗滕迪克连续与离散的对偶性代数几何（第1页）

格罗滕迪克认为真正的数学家不是仅仅去破解什么猜想，那样只是局部的，数学家应该解决大问题，那就是组建一种强大的东西，这个东西可以轻松的破解很多猜想。

格罗滕迪克有疑问：“为什么数学中会有连续，会有离散。”

让·库朗说：“这不是很常见的事情吗？”

格罗滕迪克说：“到我们这里这个看似最常见的事情就很奇怪了，任何一个看似简单的东西都是奇怪的。很多东西其实还会对代数理论大一统会起到阻碍作用。”

库郎说：“如果要是真要这样刨根问底，那世间的每个东西都会很困难，也许向你这样的人反而会认为很简单吧。”

格罗滕迪克说：“我跟你们一样，也是一步步来的。我想说的师，自从我开始研究范畴论之后，我首先面临的问题就是对偶的问题。我从寻来范畴众，找到了6种对偶运算。”

库郎说：“你说的对偶运算，是不是类似加和减对偶，乘与除对偶这个意思？”

格罗滕迪克说：“是的。范畴里的对偶要丰富很多，其中有单射与满射对偶，核与上核，始对象核终对象，内射对象与投射对象。”

库郎说：“等等，你说的这些是对偶的？”

格罗滕迪克说：“是对偶，而且不仅仅是这样，在范畴论里这样的对偶会让一个概念变成两个概念，这两个概念如果不这样说，你都不知道会有对偶这样的关联。”

库郎惊骇的说：“那你的意思是，会让很多看起来没关系的两个数学用这个对偶来联系？”

格罗滕迪克说：“你不觉得，数学种需要这样的例子吗？像你这样的，天天大喊例子的人。”

库郎说：“那能是什么样的对偶，莫非是数论和几何图形？”

格罗滕迪克说：“没错，这只是其中之一而已。”

为何代数簇与坐标环一一对应，因为多项式环是多项式，

前面曾经谈到在仿射代数簇和它的坐标环之间有一一对应的关系，因此对仿射代数簇的几何研究也就可以转化为对相应的坐标环的代数研究。

然而坐标环是一种性质很好的环，它在环论中还有一个专门的名称叫“-代数（-algebra）”。

由于不是每个交换环都可以成为仿射代数簇的坐标环（例如整数环就是如此），所以格罗腾迪克就想用任意的交换环来构造一种类似于仿射代数簇那样的抽象的几何对象，使得每一个交换环都可以成为这种抽象几何对象的“坐标环”。

大约在1957年左右，卡吉耶（Cartier）建议用交换环的全体素理想的集合（称为的“素谱”）来作为与对应的“几何对象”，它是经典仿射代数簇的抽象推广。

这个简单的想法立即成为了格罗腾迪克重建代数几何基础的出发点。这是因为每个交换环的素谱连同它上面的结构层一起，都能够组成一个环层空间（，），这个环层空间就是最简单的概形——“仿射概形（affinescheme）”。

这个仿射概形就是格罗腾迪克心目中的“抽象的几何对象”。

一旦有了仿射概形，那么对这种新的几何对象的研究就能够转化为对任意交换环的代数研究，这就将极大地拓展这种新几何的适用范围，实现人们长久以来梦寐以求的将代数几何与代数数论统一起来的梦想。

概形就是局部同构于仿射概形的环层空间，或者也可以将概形粗略地理解为是将一些仿射概形经过适当的“粘贴”后而得到的。

由于仿射概形是仿射代数簇的推广，因此很明显：概形确实是经典代数簇的抽象推广。

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