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2009年,适逢国际数学奥林匹克io举办50届,国际数学奥林匹克委员会举行了50周年庆典活动。
在这场50周年庆典,出现了很多闻名世界的数学家。
庆典结束后,则是正式比赛,来自全球105个国家和地区的近560名学生将参加本届比赛。
整个比赛持续一周时间。
比赛选手将在这为期一周的时间内攻克数学难题,争夺数学奥林匹克的金银铜牌。每个国家的参赛选手,都抱着为国争光的决心前来征战世界。
3月15日,竞赛拉开帷幕
io一共六道题,今天考三题,明天考三题,每题7分,满分是42分。每个竞赛日的竞赛时间为45个小时,可携带任何文具及作图工具,一切电子设备不被允许带入赛场。
因为竞赛时间较长,各选手可自带食物饮料进场,可并携带不多于三本的参考资料。
但是秦元清除了带了一些吃喝的,其他参考资料一本没带,因为按照以前的情况,参考资料基本上没有什么用的,出题人早已考虑到这些,要是参考资料能够找到解决办法,说明出题人的出题水平太烂了。
这就如同国内考试,开卷考往往比闭卷考难得多。
因为本国选手拿到题目,都已经是换成本国文字,所以选手拿到试卷,都不会存在任何语言文字的障碍。
秦元清拿到试卷,只有三题,第一题是最简单的,要是连第一题都不会做,那么后面两题都不用考虑了。
秦元清很冷静,第一道题最简单,是送分题,可是同样的,一不小心就变成了送命题。
“1、n是一个正整数,a1,a2ak(k≥2)是{1,2,,n}中的不同整数,并且n|ai(ai+1-1)对于所有i=1,2,,k-1都成立,证明:ak(a1-1)不能被n整除。”
秦元清看了三遍题目,心中暗骂一下提供这题的人以后生孩子没屁眼,竟然暗设陷阱,一个不小心就会答错掉。
秦元清开始作答,首先利用数学归纳法证明:对任意的整数i(2≤i≤k),都有被整除,得出当i=2时,由已知得能被乘除的结论成立。一步步以此展开,最后得出,ak(a1-1)不能被n整除的结论。
然后秦元清又看向第二道题。
“△abc外接圆的圆心为o,p、q分别在线段ca、ab上,k、l、分别是bp、cq、pq的中点,圆Г过k、l、并且与pq相切。证明:op=oq。”
秦元清这一题审题完成,倒是觉得这一题比上一题容易一些,没有设陷阱。先是做了一个圆,然后化作△abc,然后又作出ca、ab线段以及p、q二点,然后标出bp、cq、pq的中点k、l、。最后作出圆Г。
随后以直线pq与圆Г相切,相切点,然后通过弦切角定理得出∠qk=∠lk。由于点k、分别是bp、pq的中点,所以k∥bq,从而得出∠qk=∠aqp。
因此得到∠lk=∠aqp。
同理,∠kl=∠apq。
根据角的相等,得到△kl∽△apo,从而得到kl=apaq
因为k、l、分别是线段bp、cq、pq的中点,所以得到k=bq2,l=cp2,将此带入上式得bqcp=apaq,将式子转为ap·cp=aq·bq。通过圆幂定理知op2=oa2-ap·cp=oa2-aq·bq=oq2
所以,得出结论op=oq。
秦元清连检查都没有检查,将抽向的数学问题转为图像,这个是他擅长的地方,他有十全的把握证明。
紧接着秦元清看向第三题,“3、s1,s2,s3,是严格递增的正整数数列,并且它的子数列ss1、ss2、ss3,和ss1+1,ss2+1,ss3+1都是等差数列。证明:s1,s2,s3是一个等差数列。”
看着这一题,秦元清微皱起眉头,这一题明显比前面两道题难得多,秦元清将已知条件稍微捋了一下,这一道题融合了等差数列、以及转换法。
秦元清一步一步地展开,通过数列以及子数列都是严格的递增的正整数数列,设ssk=a+(k-1)d1,ssk+1=b+(k-1)d2(k=1,2,a、b、d1、d2∈n+)。
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